最棒的線性代數教學影片
知名科普影片頻道 3blue1brown 有一系列的線性代數介紹影片 "Essence of Linear Algebra" 。這一系列的影片是我看過最棒的線性代數教材。非常適合學過線性代數、但又覺得自己學得不透徹的朋友們回頭看過一次這系列影片。
遙想 回想當年第一次學線性代數也是十幾二十年以前的事情（驚），離開學校後斷斷續續地還是有用到相關的知識，所以也不至於還給老師或書本，但最近因緣際會接觸到這系列影片後，透過影片好好地（再）整合了一次自己對於線性代數裡面幾個關鍵概念，仍然常常有「啊的確可以這樣看這件事情」的 aha moment。
一直有 aha moment 真的是很過癮的事情，加上系列影片其實也不長，一部大約五分鐘十分鐘，共十五部，所以我可說是一口氣就把系列影片看完了。推薦給大家。
從二維與三維歐式幾何出發、結束於抽象空間
這系列影片最大的特色就是影片善用了自己是影片這個特色，所以可以呈現各種幾何畫面。影片在解說某些運算的時候常常會刻意強調其幾何意義、並且呈現給觀眾看，藉此在觀眾心中建立起某種直觀理解某件事情的感受。
有了這些二維三維的圖像，這樣在拓展觀念到更抽象的運算時，可以不斷類比當初在二維與三維看到的畫面與概念。 當年打開某線性代數書的封面後第一眼就是向量空間的定義簡直就是逆著人類直覺走 XD 只是讀者要留意「類比」常常只是「讓人感覺自己懂了」的手段，而不代表自己已經真正理解其數理內涵。
抽象與介面
系列影片第 15 章 "Abstract vector spaces" 、也是系列影片最後一部裡，提到兩個我很喜歡的概念，第一是「公理是介面而非自然律」 (Axioms are rules of nature an interface)，與「抽象化是通用性的代價」 (Abstractness is the price of generality)。
「公理是介面而非自然律」意指「只要滿足公理定義的規則，都可以具備此公理相關的所有推論」，也就是說，兩門不同領域的學問，即使這兩門學問看上去是長得如此不一樣，卻有可能因為彼此都滿足公理的定義，因此而透過公理「連結」起兩門學問。所以公理可說是一種兩門學問間的「介面」。
公理作為跨領域的介面這個角色，使得基於公理而發展出的知識與推論，通用性是更高的，但缺點就是相對抽象 啊啊我又想起上面提到的線性代數一打開就是向量空間定義 ，比較無法透過生活直覺與類比很快地理解或留下深刻的印象。所以「抽象化是通用性的代價」。
程式開發中的抽象化與通用性
寫程式一段時間的朋友，或多或少都會開始慢慢接觸到不同的框架 ( framework ) 。 框架其實就是一種通用性的體現。「抽象化是通用性的代價」，所以如果細看如何實做框架本身的話，勢必要面對如何抽象化函式的議題。Python 中對撰寫的情境提供了像是之前小聊過的 abc 這種模組。
啊啊我好像讓自己成為介面連結了數學和程式開發了啊啊啊啊啊啊。
下面是題外話
追求比喻的求知者
上面提到「類比常常只是讓人感到自己懂了的手段，而不代表自己已經真正理解其數理內涵」。人很難去想像自己不曾有體會過的事情，而類比是透過「自己已經知道的事情」去描繪「自己想要理解的事情」的思考方式，這非常符合人類大腦的直覺，只是思考盲點會是「如果要描繪的事情是完全超脫自己見識與想像的範圍」，就會永遠不可能描繪出真實的樣子。
我曾經聽過一個很生動的比喻：試試看去對不曾使用過電腦瀏覽器的人解釋過什麼是瀏覽器，解釋完後請他在紙上畫圖描述，看看他腦海中（透過類比想像到的畫面）和真實世界的瀏覽器樣貌有多大的差距。
有些求知者或許是過於沈迷類比這種思考模式帶來的「啊我懂了」的大腦快感，在理解新事物的時候往往內心會有強烈欲望想要知道「這個新玩意可以相當於是我已經知道的什麼東西」，但過於執著這件事情而忽略了「真的下去玩玩看這個新玩意」對於理解的重要性、或是想要便宜行事速成，就只能一直在知識的殿堂外徘徊、無法享受到真正理解事物時的樂趣。
因為實做帶來的理解的面向是類比所缺乏的，所以 make one's hand dirty 這種說法。所謂實際玩玩看 a.k.a. make one's hand dirty ，在各種情境中，例如：
- 研習代數就是方程式自己推演過一遍；類比說明只是幫助自己思考與記憶。
- 寫程式就要自己對某種類型的題目 build from scratch 過一遍
其他也很棒的科普影片
除了 3blue1brown ， DoS Domain of Science 也是一個很棒的科普影片頻道，例如幾個我覺得很棒的知識地圖介紹 - The Map 系列影片，像是：